Дар муодилаи аз ҳавопаймо: чӣ тавр ба? Намудҳои муодилаҳои ҳавопаймо

Дар фазои ҳавопаймо мумкин аст, дар роҳҳои гуногун (аз як нуқта ва векторӣ, вектори ва ду хол, се хол ва ғайра) муайян карда мешавад. Ин аст, ки бо дарназардошти ин, муодилаи ҳавопаймо метавонад намудҳои гуногун дошта бошанд. Инчунин дар шароити муайяни ҳавопаймо метавонад мувозӣ, Хате, intersecting ва ғайра Дар бораи ин ва дар ин мақола гап хоҳад кард. Мо мефаҳмем, ба муодилаи умумии ҳавопаймо ва на танҳо.

Шакли муқаррарӣ аз муодилаи

Фарз мекунем, ки R фазои _3, ки дорои росткунҷаест, ҳамоҳангсозии низоми XYZ мебошад. муайян Мо α векторӣ, ки мешавад, ки аз нуќтаи ибтидої О. ба воситаи охири α вектори озод ҷалб ҳавопаймо P аст, ки Хате ба он.

Далолат мекунад P дар як худсарона нуқтаи Q = (х, Y, Z). Дар вектори радиусаш нуқтаи Q номаи аломати саҳ. Дарозии вектори баробар саҳ α = IαI ва Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Ин вектори воҳиди аст, ки дар самти ҳамчун α вектори равона карда мешавад. α, β ва γ - кунҷҳои, ки байни вектори ва самтҳои мусбии ташкил Ʋ меҳварҳоро фазои х, Y, Z мутаносибан мебошанд. Дурнамои нуқтаи оид ба вектори QεP Ʋ доимӣ ба саҳ (саҳ, Ʋ) = саҳ (r≥0) баробар аст, ки аст.

Дар муодилаи боло пурмазмун, вақте саҳ = 0 аст. Ягона ҳавопаймо о дар ин маврид, мехостам Эй нуқтаи (α = 0), ки ба пайдоиш ва Ʋ вектори адад, озод аз нигоҳи Эй убур Хате ба P хоҳад буд, ҳарчанд самти он, ки маънои онро дорад, ки Ʋ вектори муайян то ба аломати. Муодилаи гузашта ҳавопаймо P мо аст, изҳори дар шакли вектори. Аммо дар назари координатаҳои он аст:

P бузургтар ё ба ‧ баробар 0. Мо муодилаи ҳавопаймо дар шакли муқаррарӣ пайдо кардаанд аст.

Дар муодилаи умумӣ

Агар муодилаи дар координатҳо афзояд ягон шумораи он аст, ки ба сифр баробар нестанд, мо эквиваленти муодилаи ба ин, ки дар ҳавопаймо хеле муайян ба даст меорад. Он дар шакли зерин дошта бошад:

Дар ин ҷо, A, B, C - шумораи ҳамзамон аз сифр аст. Ин муодилаи аст, муодилаи шакли умумии ҳавопаймо номида мешавад.

Дар муодилаҳои аз тайёраҳои. њолатњои махсус

Дар муодилаи умуман наметавонад бо шароити иловагӣ тағйир дода шавад. баъзе аз онҳо дида бароем.

Дар њолате, ки коэффисиенти А 0. аст, ин нишон медиҳад, ки дар баробари ҳавопаймо ба барзагов меҳвари муъайян. Дар ин ҳолат, ки шакли муодилаи тағйирнопазир: Wu + Cz + D = 0.

Ба ин монанд, дар шакли муодилаи ва бо шартҳои зерин фарқ мекунад:

• Якум, агар B = 0, тағйироти муодилаи ба теша + Cz + D = 0, ки аз parallelism ба меҳвари Oy нишон дода мешаванд.
• Дуюм, агар C = 0, муодилаи аст, ба теша + Бо + D = 0 табдил ривоят аст, ки дар бораи баробари меҳвари муъайян Oz мегӯянд.
• Сеюм, агар D = 0, муодилаи чун теша + Бо + Cz = 0, ки маъно дорад, ки ҳавопаймо intersects Эй (пайдоиш) пайдо хоҳад кард.
• Чорум, агар A = B = 0, тағйироти муодилаи ба Cz + D = 0, ки исбот хоҳад кард, то parallelism Oxy.
• Панҷум, агар B = C = 0, муодилаи теша + D = 0, ки маънои онро дорад, ки дар ҳавопаймо дар баробари Oyz аст, мегардад.
• Sixthly, агар A = C = 0, муодилаи мегирад шакли Wu + D = 0, i.e., ба Oxz parallelism дар ҳисобот хоҳанд дод.

Шакли муодилаи дар гурўњњои

Дар мавриди он ҷо рақамҳои A, B, C, D аз сифр, ки шакли муодилаи (0) метавонад бошад, иборатанд аз:

х / а + Y / б + Z / с = 1,

$ А = -D / A, б = -D / B, в = -D / C.

Мо чун муодилаи натиҷаи ҳавопаймо пора мегиранд. Бояд қайд кард, ки ин ҳавопаймо хоҳад х меҳвари дар нуқтаи бо координатаҳои (а, 0,0), Oy бархўрд - (0, б, 0), ва Oz - (0,0, и).

Бо дарназардошти муодилаи х / а + Y / б + Z / с = 1, он аст, душвор нест, ки ба тасаввур ҳавопаймо љойгир нисбат ба низоми муъайян ҳамоҳанг.

Дар координатҳо аз вектори муқаррарӣ

Дар м вектори муқаррарӣ ба ҳавопаймо P дорад, координатҳо, ки коэффисенти аз муодилаи умумии ҳавопаймо, i.e. о (A, B, C) мебошанд.

Бо мақсади муайян намудани координатҳо аз м муқаррарӣ, ки ба медонем, муодилаи умумии дода ҳавопаймо кифоя аст.

Ҳангоми истифодабарии муодилаи дар гурўњњои, ки дорои шакли х / а + Y / б + Z / с = 1, чунон ки ҳангоми истифодаи муодилаи умумї мумкин координатаҳои ягон вектори муқаррарӣ навишта як ҳавопаймо дода аст: (1 / а + 1 / б + 1 / в).

Бояд қайд кард, ки вектори муқаррарии кӯмак барои ҳалли масъалаҳои гуногун. Мушкилоти бештар маъмул шудаанд, иборат дар тайёраҳои Хате ё мувозӣ бурҳоне надорад, ин вазифаи дарёфти кунҷҳои байни тайёраҳои ё кунҷҳои байни тайёраҳои ва хатҳои рост ҳидоят кунад.

Намуди тибқи муодилаи ҳавопаймо ва координатаҳои нуқтаи вектори муқаррарӣ

A н nonzero векторӣ, Хате ба як ҳавопаймо дода, даъват муқаррарӣ (муқаррарӣ) ба ҳавопаймо муъайян.

Фарз мекунем, ки дар фазои ҳамоҳанг (а росткунҷаест, системаи координат аст) Oxyz таъсис диҳад:

• нуқтаи Mₒ бо координатаҳои (hₒ, uₒ, zₒ);
• вектори сифр м = A * Ман + B * К + C * К.

Шумо лозим аст, ки муодилаи намудани ҳавопаймо, ки ба воситаи нуқтаи Mₒ мегузарад Хате ба н муқаррарӣ.

Дар фазои мо ба ягон нуқтаи худсарона интихоб мекунад ва далолат Мард (х, Y, Z). Бигзор вектори радиусаш ҳар як нуқтаи Мард (х, Y, Z) хоҳад Р = х * Ман + Y * К + Z * К, ва вектори радиусаш як Mₒ нуқтаи (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * Ман + uₒ * к + zₒ * к. Дар банди Мард ба ҳавопаймо дода тааллуқ хоҳад кард, ки агар MₒM вектори ба вектори Хате ба н бошад. Мо нависед ҳолати orthogonality бо истифода аз зарби скалярии:

[MₒM, о] = 0.

Аз MₒM = Р-rₒ, муодилаи вектори аз ҳавопаймо мисли ин назар:

[R - rₒ, н] = 0.

Ин муодилаи низ метавонад шакли дигар доранд. Бо ин мақсад, ба хосияти скалярии, ва руҷӯъ тарафи чапи муодилаи. [R - rₒ, н] = [р, о] - [rₒ, о]. Агар [rₒ, о] denoted ҳамчун ҳо, мо муодилаи зерин дастрас намоед: [р, о] - як = 0 ва ё [р, о] = р, ки изҳори босабраш аз пешбиниҳо дар бораи вектори муқаррарии радиусаш-Масирҳои нуқтаҳои дарназардошти он, ки аз они ҳавопаймо.

Акнун Шумо метавонед ба даст ҳамоҳангсозии ҳавопаймо сабт навъи муодилаи вектори мо [р - rₒ, н] = 0 Азбаски Р-rₒ = (х-hₒ) * Ман + (Y-uₒ) * к + (Z-zₒ) * К, ва м = A * ман + B * к + C * к, мо доранд, ки:

Он рӯй, ки мо муодилаи ташкил аст, ҳавопаймо аз тариқи гузариш аз нуқтаи Хате ба н муқаррарӣ:

A * (х hₒ) + B * (Y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

Намуди тибқи муодилаи ҳавопаймо ва координатҳо аз ду нуқтаи аз collinear ҳавопаймо вектори

ду нуктаи худсарона Мард '(х', Y, Z ») ва М» (х », Y», Z »), инчунин вектори (а ', як", як ‴) муайян кардем.

Акнун мо метавонем муодилаи муъайян ҳавопаймо, ки ба воситаи Мард нуқтаи мавҷуда ва Мард "мегузарад, ва ҳар як нуқтаи бо координатҳо Мард (х, Y, Z) баробари ба вектори дода нависед.

Ҳамин тариқ векторҳои M'M х = {Х ', Y-Y'; zz '} ва Мард "M = {х" -x', Y 'Y'; Z »-z '} бояд coplanar бо вектори бошад а = (а ', як ", як ‴), ки маънои онро дорад, ки (M'M Мард« М, а) = 0.

Пас муодилаи мо як ҳавопаймо дар фазои мисли ин назар:

Намуди муодилаи ҳавопаймо убур се хол

Биё мегӯянд, ки мо се: (х ', Y, Z »), (х', Y, Z»), (х ‴ кардаанд ‴, Z ‴), ки ба хатти ҳамон мансуб нест. Ин навиштани муодилаи аз ҳавопаймо гузашта се хол муайян зарур аст. Назарияи геометрия истидлол мекунад, ки ин гуна ҳавопаймо вуҷуд надорад, он танҳо як ва ягона. Аз ин ҳавопаймо intersects нуқтаи (х ', Y, Z »), шакли муодилаи он мешавад:

Дар ин ҷо, A, B, C ва аз сифр дар айни замон мебошанд. Ҳамчунин ҳавопаймо дода intersects ду хол бештар (Х », Y», Z ») ва (х ‴, Y ‴, Z ‴). Дар робита ба ин бояд аз ин гуна шароити амалӣ карда мешавад:

Акнун мо метавонем як системаи ягона эҷод муодилаҳои (хаттӣ) бо unknowns у, V, В:

Дар сурати х мо, Y Z ё меистад нуқтаи худсарона, ки қонеъ муодилаи (1). Бо дарназардошти муодилаи (1) ва системаи муодилаҳои (2) ва (3) системаи муодилаҳои зикршуда дар ҷадвали боло, ќонеъ вектори N (A, B, C) nontrivial аст, ки. Сабаб дар он аст, ки омили муайянкунандаи низоми сифр аст.

Муодилаи (1), ки мо дорем, ин муодилаи аз ҳавопаймо мебошад. 3 банди ӯ дар ҳақиқат меравад, ва он осон, санҷед. Барои ин кор, мо муайянкунандаи васеъ аз ҷониби унсурҳои дар сатри аввал. Аз хосиятҳои мавҷуда муайянсозандаи бармеояд, ки ҳавопаймои мо ҳамзамон intersects се нуқтаи ибтидо муъайян (х ', Y, Z »), (х», Y », Z»), (х ‴, Y ‴, Z ‴). Бинобар ин, мо тасмим бозхост дар пеши мо.

кунҷи Dihedral байни тайёраҳои

кунҷи Dihedral шакли геометрии фазоии ташкил ду ним тайёраҳои, ки аз як хати рост emanate аст. Ба ибораи дигар, як қисми фазо, ки ба ним тайёраҳои маҳдуд аст.

Фарз мекунем, ки мо дар ду ҳавопаймо бо муодилаҳои зерин:

Мо медонем, ки N вектори ба = (A, B, C) ва N¹ = (A¹, H¹, S¹) тибқи ҳавопаймои муъайян Хате мебошанд. Дар робита ба ин, ба кунҷи φ байни векторҳои N ва N¹ кунҷи баробар (dihedral), ки байни ин тайёраҳои ҷойгир шудааст. Дар скалярии аст, дода мешавад:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

маҳз ба хотири

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ин кофӣ барои фикр кунед, ки 0≤φ≤π аст.

Дар асл ду ҳавопаймои, ки бархўрд, шакли ду кунҷи (dihedral): φ ₁ ва _{2 φ.} маблағи онҳо баробар ба π (φ ₁ + ₂ = φ π) аст. Тавре ба cosines онҳо, арзишҳои мутлаќ баробар ҳастанд, вале онҳо нишонаҳои гуногун мебошанд, яъне, cos φ = ₁ -cos φ _2. Агар дар муодилаи (0) аст, A, B ва C намудани син, -B ва -C мутаносибан, муодилаи иваз карда, мо ба даст хоҳад ҳавопаймо ҳамон φ дар cos муодилаи φ муайян, танҳо кунҷи = NN ¹ / | N || N ¹ | Он аз тарафи π-φ иваз карда шаванд.

Дар муодилаи аз ҳавопаймо Хате

Ном Хате ҳавопаймо, дар байни он кунҷи 90 дараҷа аст. Бо истифода аз маводи пешниҳод боло, мо метавонем муодилаи як ҳавопаймо Хате ба дигар ёфт. Фарз мекунем, ки мо ду ҳавопаймои: теша + Бо + Cz + D = 0, ва + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Мо метавонем мегӯянд, ки онҳо orthogonal мебошанд, агар cos = 0. Ин маънои онро дорад, ки NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Дар муодилаи як ҳавопаймои мувозии

Ин ду ҳавопаймои ҳамзамон ки дорои нест, нуқтаҳои умумӣ номида мешавад.

Ҳолати ҳавопаймоҳо баробари (муодилаҳои худ ҳамон тавре, ки дар банди қаблӣ мебошанд) аст, ки векторҳои N ва N¹, ки Хате ба онҳо ҳастанд, collinear. Ин маънои онро дорад, ки шароити зерин таносуб мулоқот:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Агар шартҳои мутаносиб доранд, васеъ - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

Ин нишон медиҳад, ки ҳавопаймо маълумоти ҳамин. Ин маънои онро дорад, ки ба муодилаи табар + Бо + Cz + D = 0 ва + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 тавсиф як ҳавопаймо.

Дар Масофа аз нуқтаи ба ҳавопаймо

Фарз мекунем, ки мо як ҳавопаймо P, ки аз ҷониби (0) дода мешавад. Зарур аст, ки ба пайдо намудани масофа аз нуқтаи бо координатаҳои (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Шумо бояд ба оварад муодилаи дар ҳавопаймо II намуди оддӣ ба он, ки:

(Ρ, ояти) = саҳ (r≥0).

Дар ин ҳолат, ρ (х, Y, Z) вектори радиусаш нуқтаи Q мо, воқеъ дар н саҳ аст - н дарозии Хате, ки аз нуқтаи сифр озод шуд аст, ояти - вектори воҳиди аст, ки дар самти як ташкил мешавад.

Фарқият ρ-ρº вектори радиусаш як нуқтаи Q = (х, Y, Z), аз они н ва вектори радиусаш нуқтаи дода Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) аст, чунин вектори, арзиши мутлаќи дурнамои, ки дар ояти баробар масофаи г, ки зарур аст, ки ба пайдо кардани аз Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) ба P:

$ D = | (ρ-ρ ^0, ояти) |, вале

(Ρ-ρ ^0, д) = (ρ, V ) - (ρ ^0, д) = саҳ (ρ ^0, ояти).

Пас аз он рӯй берун,

г = | (ρ ^0, д) саҳ |.

Акнун равшан аст, ки ба ҳисоб масофаи г аз ₀ то Q ҳавопаймо P, зарур аст, ки ба истифода муодилаи назари ҳавопаймо муқаррарӣ, гузариш ба тарафи чапи саҳ, ва охирин ҷои х, Y, ивазкунандаи Z (hₒ, uₒ, zₒ).

Ҳамин тариқ, мо арзиши мутлақ аз ифодаи натиҷа, ки зарур аст, г ёфт.

Бо истифода аз параметрҳои забон, ки мо ба даст маълум:

г = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Агар аз нуқтаи муайян Q ₀ аст, ки дар тарафи дигари ҳавопаймо P ҳамчун пайдоиш, сипас байни вектори ρ-ρ ⁰ ва ояти аст, кунҷи obtuse, ҳамин тавр:

г = - (ρ-ρ ^0, д) = (ρ ^0, д) -p> 0.

Дар сурате ки агар нуқтаи Q ₀ дар якҷоягӣ бо пайдоиши воқеъ дар канори ҳамин аз U, кунҷи шадид офарида мешавад, ин аст, ки:

г = (ρ-ρ ^0, д) = P - (ρ ^0, д)> 0.

Дар натиҷа ин аст, ки дар сурати собиқ (ρ ^0, ояти)> саҳ, дар дуюм (ρ ^0, д) <саҳ.

Ва муодилаи ҳавопаймо арктангенси он

Дар бораи ҳавопаймо ба рӯи дар дами Mº tangency - як ҳавопаймои дорои тамоми арктангенси имконпазир ба каљ ҷалб ба воситаи он нуқтаи оид ба сатҳи.

Бо ин шакли рӯи муодилаи F (х, Y, Z) = 0, дар муодилаи аз Mº нуқтаи ҳавопаймо арктангенси арктангенси (hº, uº, zº) бошад:

F _х (hº, uº, zº) (hº х) + F _х (hº, uº, zº) (uº Y) + F _х (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

Агар сатҳи таъин шудааст ошкоро Z = Д (х, Y), он гоҳ ҳавопаймо арктангенси аст, аз тарафи муодилаи тасвир шудааст:

Z-zº = д (hº, uº) (hº х) + д (hº, uº) (Y uº).

Дар чорроҳаи ду ҳавопаймои

Дар фазои се-ченака системаи координат аст (росткунҷаест) Oxyz, ду ҳавопаймои дода P »ва P", ки ба мепушонанд ва рост аст. Агар ҳар як ҳавопаймо, аст, ки дар як росткунҷаест, системаи координат муайян муодилаи умумӣ, ки мо дар њолате, ки н + B Х '+ Y »= 0 ва А ва о аз тарафи муодилаҳои A'x + V'u S'z + + D муайян» Бо «Z + D» = 0. Дар ин ҳолат мо о муқаррарӣ »(A ', B', C ') -и ҳавопаймо P» ва м муқаррарӣ "(A», B », С») -и ҳавопаймо P аз ". Тавре ки ҳавопаймои мо инобат нест ва мувофиқат накунанд, пас ин масирҳо шудаанд collinear нест. Истифодаи забони риёзӣ, мо ин ҳолати метавон ҳамчун навишта шудааст: н '≠ о "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Ва», λ * Дар ", λ * С»), λεR. Бигзор хати рост, ки дурӯғ дар чорроҳаи дар P »ва P", аз тарафи ин номаро як denoted, дар ин маврид дар як = P '∩ P ».

ва - як хати иборат аз plurality нуқтаҳои (умумӣ) тайёраҳои P »ва P». Ин маънои онро дорад, ки координатҳо ягон нуқтаи мутааллиќ ба хати а, аз њамзамон бояд қонеъ муодилаи A'x + V'u S'z + + D '= 0 ва А »х + $ B + C Y« Z + D »= 0. Ин маънои онро дорад, ки намудани координатҳо аз нуқтаи хоҳад ҳалли ҷумла аз муодилаҳои зерин:

Дар натиҷа ин аст, ки ҳалли (умумї) ин системаи муодилаҳои намудани координатҳо ҳар як пункт ба хатти ки ҳамчун нуқтаи убури P »ва P» амал хоҳад кард муайян хоҳад кард, ва муайян хати дар системаи координат Oxyz (росткунҷаест) фосила.